Rizik od propasti
Vjerovatnoća da izgubite cijeli bankroll prije nego što dosegnete cilj.
Za opklade na jednostavnu šansu rizik propasti slijedi formulu kockareve propasti. Uz bankroll od $500, opklade od $10 i cilj od $600, cilj dostižete približno 57% vremena, a ostatak puta propadate.
Pitanje
Imate a jedinicanovacJedinicaOsnovni ulog kojim se služi sistem ili igrač. Progresije se opisuju u jedinicama kako bi vrijedile za svaki sto.Pročitajte cijelo → bankrollanovacBankrollUkupan iznos izdvojen za igru. Upravljanje bankrollom određuje koliko tog iznosa rizikujete po opkladi i po sesiji.Pročitajte cijelo → i želite dosegnuti a + b jedinica, ulažući po jednu jedinicu na opkladu na jednostavnu šansukladiti seOpklada na jednostavnu šansuCrveno/crno, neparno/parno, visoko/nisko. Pokriva 18 brojeva i isplaćuje 1:1.Pročitajte cijelo → s vjerovatnoćom dobitka pmatematikaVjerovatnoćaMogućnost ishoda, od 0 do 1 odnosno od 0% do 100%. Jedan broj: 1/37 = 2,70%.Pročitajte cijelo → = 18/37 i vjerovatnoćom gubitka q = 19/37. Kolika je vjerovatnoća da dosegnete cilj prije nule? Odgovor su u 1650-im izračunali Pascal, Fermat i Huygens; to je jedan od najstarijih rezultata teorije vjerovatnoće.
Formula kockareve propasti
P(dosezanje cilja) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). Rizik propastimatematikaRizik propastiVjerovatnoća gubitka cijelog bankrolla prije dosezanja cilja ili zadanog broja okretaja.Pročitajte cijelo → jednak je jedan minus to. Uz q/p = 19/18 ≈ 1,0556, omjer raste eksponencijalno s brojem jedinica, pa formula strogo kažnjava male jedinice: što je više opklada potrebno za cilj, više puta se na putu plaća namet od 2,70%.
Kako je čitati
Manje jedinice štete. Pokušaj da udvostručite $500 opkladama od $10 uspijeva 6% vremena; s jednom opkladom od $500 uspijeva 48,6% vremena. Odvažna igra, manje i veće opklade, najveća je vjerovatnoća da se pogodi cilj u igri s negativnim očekivanjem jer smanjuje broj puta koliko se primjenjuje prednost. Također najviše povećava varijansumatematikaVarijancaMjera raspršenosti rezultata oko očekivane vrijednosti. Velika je za opkladu na jedan broj, mala za opklade na jednostavnu šansu.Pročitajte cijelo → onoga što vam se događa i brzo završava večer. Teorem se zove „odvažna igra je optimalna“, a dokazali su ga Dubins i Savage 1965.
Odakle je problem potekao
Pitanje je starije od ruleta. Godine 1656. Pascal je Fermatu zadao zagonetku: dva igrača bacaju tri kockice, svaki počinje s 12 žetona; zbir 11 pomjera žeton na jednu stranu, a zbir 14 na drugu. Obojica su je riješila, a Huygens, koji je za nju čuo iz pisma matematičara Pierrea de Carcavija, objavio ju je 1657. kao peti zadatak prve knjige o vjerovatnoći, s odgovorom i bez dokaza. Zbir jedanaest može pasti na 27 načina, a četrnaest na samo 15, pa se svaki žeton pomjeri prema prvom igraču 9 puta od 14; formula iznad, s 12 žetona za svakoga, čini ga oko 1.157 puta vjerovatnijim da osvoji sve nego da izgubi sve. Prednost od 2,70% mnogo je manja, ali ista formula pokazuje šta čini kroz mnogo opklada.
Stvarna odvažna opklada
U aprilu 2004. Ashley Revell, mladi Englez, prodao je gotovo sve što je imao, uključujući odjeću, i odnio $135.300 u Plazu u Las Vegasu. Nakon nekoliko malih opklada jednom je cijeli iznos stavio na crvenokladiti seCrvenoOpklada na jednostavnu šansu na 18 crvenih brojeva. Francuski: rouge.Pročitajte cijelo →. KuglicaopremaKuglicaMala kuglica koja se lansira stazom suprotno od rotora. Moderne kuglice izrađuju se od ivorina ili teflona, promjera 18–21 mm.Pročitajte cijelo → je pala na crveni 7 i izašao je s $270.600. Na točku s dvostrukom nulomtočakNulaJedini zeleni džep, koji ne pokriva nijedna opklada na jednostavnu šansu, tucet ni kolona; izvor prednosti kuće. Također: pojedinačna nula, 0.Pročitajte cijelo → taj jedan okretaj imao je vjerovatnoću 47,37% i u prosjeku ga je koštao $7.121, prednost od 5,26% na jednu opkladu. Raspoređen na opklade od $10, isti bi cilj bio gotovo beznadežan. Odvažna igra ne čini opkladu dobrom; čini je što kraćom.
Rizik propasti bez cilja
Ako jednostavno igrate dok ne propadnete ili stanete nakon N okretaja, pitanje postaje: „Kolika je vjerovatnoća da moj bankroll dodirne nulu unutar N okretaja?“ Ne postoji zatvoreni oblik za opći N, ali simulatori na ovoj stranici to računaju: bankroll od $500 uz $10 na crveno gotovo nikada ne propadne u 100 okretaja (ispod 1%), propadne oko 9% vremena u 500 okretaja, a oko 95% vremena u 5.000. Bez pravila za prekid vjerovatnoća teži 100%, što je dugoročna verzija prednosti kućematematikaPrednost kućeUdio svakog uloga koji kazino dugoročno zadržava: 2,70% u evropskom ruletu.Pročitajte cijelo →.
- p10 −$500
- p25 −$500
- medijan −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
Koliko dugo i koliko unaprijed
Još dva klasična rezultata odgovaraju na pitanja koja igrači zaista postavljaju. Bez cilja, opklade na jednostavnu šansu uz stalni ulog na evropskom točku traju u prosjeku 37 okretaja za svaku jedinicu bankrolla, a na američkom 19, jer svaki okretaj prosječno uzima 1/37 jedinice (1/19 na američkom točku): 100 jedinica prosječno traje 3.700 okretaja, premda je pola takvih sesija gotovo u 3.134 (vidite Trajanje sesije i trošak). Bez obzira na veličinu bankrolla, vjerovatnoća na evropskom točku da ikada budete k jedinica u plusu jest (18/19)ᵏ. To je 95% za jednu jedinicu i 58% za deset, ali nijedan bankroll, ma koliko velik, ne daje podjednaku šansu da ikada budete 13 jedinica u plusu; na američkom točku vjerovatnoća je (9/10)ᵏ i pada ispod polovine pri 7 jedinica.
Bankroll za šansu pedeset-pedeset
Okrenite pitanje: koliko morate donijeti da imate barem pedeset-pedeset šansu osvojiti određeni iznos prije nego što izgubite sve? Za mali dobitak, ne mnogo. Za veći potrebni bankroll strmo raste, a nakon određene tačke nijedan bankroll nije dovoljan jer čak ni beskonačan daje manje od pedeset-pedeset šanse da ikada budete toliko u plusu. Taylor (2021) to kaže drukčije: na američkom točku, za pedeset-pedeset šansu da dosegnete 100 jedinica, morate početi s 94 i riskirati 94 da biste dobili 6. Na evropskom točku trebalo bi 88.
Praktična pouka
Odlučite šta pokušavate postići. Ako je cilj određeni dobitak, kladite se mnogo i rijetko. Ako je cilj duga večer, kladite se malo i prihvatite da će prednost uzeti svojih 2,70% velikog prometanovacPrometUkupan iznos uložen tokom sesije ili razdoblja, uključujući ponovo uložene dobitke. Također: handle, action.Pročitajte cijelo →. Ako je cilj oboje, nečega se morate odreći, a to je obično cilj.
Formula
Pitanja
MartingalestrategijaMartingaleProgresija koja udvostručuje opkladu nakon svakog gubitka. Pogledajte odjeljak Strategije za ono što radi, a što ne radi.Pročitajte cijelo → ga smanjuje za kratke sesije, a dramatično povećava za duge. Klađenje stalnim ulogomstrategijaKlađenje stalnim ulogomKlađenje istog iznosa pri svakom okretaju. Osnova s kojom se poredi svaka progresija.Pročitajte cijelo → uz veću jedinicu iskren je način da se smanji.
Gornja formula vrijedi za jednostavnu šansu. Kod opklada s velikom varijansom propast je vjerovatnija pri malim ulozima, a cilj se doseže neujednačenije; upotrijebite kalkulator.
Svaki korak prema cilju malo je manje vjerovatan od svakog koraka prema propasti; omjer se umnožava kroz broj koraka.
Zabavna matematika
Najprije ih pokušajte riješiti sami. Svako je rješenje skriveno; otvorite ga kad budete spremni.
Imate $100 i želite $1.000, a kladite se samo na crvenokladiti seCrvenoOpklada na jednostavnu šansu na 18 crvenih brojeva. Francuski: rouge.Pročitajte cijelo →. Prvi plan: po $1. Drugi plan: uložite sve što imate dok ne pređete $500, pa zatim samo koliko treba do $1.000. Koji je plan bolji i za koliko?
Prikaži rješenje
Odgovor Drugi plan, daleko. Do $1.000 stiže otprilike 9,0% puta, blizu poštenih 10%. Prvi uspijeva otprilike 7 puta u 10²².
U poštenoj igrimatematikaPoštena igraIgra u kojoj nijedna strana nema prednost: svaka opklada ima očekivanu vrijednost nula.Pročitajte cijelo → od $100 biste došli do $1.000 jednom od deset puta, šta god radili, jer prosječna vrijednost vašeg novca ostaje $100.
Prednost kuće uzima 2,70% svake opklade, pa što se manje ukupno kladite, bliže ste omjeru jedan prema deset. Drugi plan rješava stvar u nekoliko opklada: $100 postaje $200, $400, $800, a zatim je dovoljno $200. Uspijeva približno 9,0% puta. Prvi plan zahtijeva hiljade opklada prije završetka puta, a prednost kuće, mala na svakoj od njih, sabere se do gotovo sigurne propasti.
To je rezultat Dubinsa i Savagea u najjednostavnijem obliku (Epstein, 2013): u igri koja ide u prilog kući kladite se koliko vam treba, što manje puta.
Imate $500 i želite $1.000, a stajete čim ih imate. Odaberete jednu vrstu opklade i ponavljate je dok jednom ne bude dobitna ili dok ne ostanete bez novca. Koja vrsta daje najbolju šansu?
Prikaži rješenje
Odgovor Jedna opklada od $500 na crveno: 48,6%. Svaki plan koji novac raspoređuje na manje opklade prolazi lošije.
Odaberite svaki ulog tako da je dovoljan jedan dobitak: $30 na jedan brojkladiti seJedan brojJedan broj; isplaćuje 35:1.Pročitajte cijelo → donosi $1.050, $60 na splitkladiti seSplitDva susjedna broja; isplaćuje 17:1.Pročitajte cijelo → donosi $1.020 i tako dalje. Zatim izbrojite vjerovatnoću da barem jedna opklada dobije prije nestanka novca. Svih šesnaest opklada po $30 na jedan broj promaši s vjerovatnoćom (36/37)¹⁶ = 64,5%, pa do $1.000 stignu u 35,5% slučajeva.
Tabela prikazuje svaku opkladu. Crveno je najbolje jer do cilja stiže u jednoj opkladi, pa se prednost kuće plaća jednom, na $500. Dupla ulicakladiti seDupla ulicaŠest brojeva u dva susjedna reda; isplaćuje 5:1. Francuski: sixain.Pročitajte cijelo → je druga jer su potrebne samo tri. Jedna opklada na tucetkladiti seTucet1–12, 13–24 ili 25–36; isplaćuje 2:1.Pročitajte cijelo → najgora je, s vjerovatnoćom 12/37; čak i ako se igra u jedinicamanovacJedinicaOsnovni ulog kojim se služi sistem ili igrač. Progresije se opisuju u jedinicama kako bi vrijedile za svaki sto.Pročitajte cijelo → od $250 dok ne imate $1.000 ili više, tucet do cilja stiže samo 46,4% puta.
Bollman (2024) pravi istu tabelu za američki točak. U njegovom redu za tucet greška je: treba pisati 12/38 = 31,6%.
opkladaulog × broj opkladavjerovatnoća dostizanja $1.000Jedan broj$30 × 1635,5%Split$60 × 835,9%Ulica$90 × 534,5%Ugao$125 × 436,7%Dupla ulica$166, $166, $16841,2%Tucet$500 × 132,4%Crveno$500 × 148,6%Kladite se po jednu jedinicu na crveno, okretaj za okretajem, s bankrollomnovacBankrollUkupan iznos izdvojen za igru. Upravljanje bankrollom određuje koliko tog iznosa rizikujete po opkladi i po sesiji.Pročitajte cijelo → koji nikad ne ponestaje. Nakon prvog okretaja jednu ste jedinicu u plusu ili minusu. Kolika je vjerovatnoća da ćete ikada opet biti tačno na nuli?
Prikaži rješenje
Odgovor 36 od 37, 97,3%. Na američkom točku 36 od 38, 94,7%.
Ako prvi okretaj dobije (18 od 37 puta), jednu ste jedinicu u plusu, a prednost kuće svaki beskonačni niz vuče dolje, pa prije ili kasnije ponovo prođete kroz nulu: to je sigurno. Ako izgubi (19 od 37 puta), morate se popeti jednu jedinicu, a vjerovatnoća da ikada budete jednu jedinicu ispred iznosi 18/19 (vidite tabelu iznad).
Zajedno: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
Općenito, vjerovatnoća je 1 minus razlika između vjerovatnoća dobitka i gubitka okretaja: 1 − 1/37 na evropskom točku, 1 − 2/38 na američkom. U igri bez nuletočakNulaJedini zeleni džep, koji ne pokriva nijedna opklada na jednostavnu šansu, tucet ni kolona; izvor prednosti kuće. Također: pojedinačna nula, 0.Pročitajte cijelo → razlika je nula, a vjerovatnoća je 1: rezultat se uvijek vrati na nulu. Epstein (2013) daje opće pravilo.
Pascalov zadatak iz 1656.: dva igrača bacaju tri kocke, svaki počinje s 12 žetona. Svako bacanje koje daje 11 prebacuje žeton prvom igraču, a svako koje daje 14 drugom; ostala bacanja se ne računaju. Kolika je vjerovatnoća da prvi igrač osvoji svih 24? A ako umjesto toga kladite po 1 jedinicu na crveno u svakom okretaju protiv prijatelja koji je banka, s po 12 jedinica, kolika je vjerovatnoća da osvojite svih 24?
Prikaži rješenje
Odgovor Prvi igrač pobjeđuje približno 1.157 puta od 1.158. Vi na crvenom osvajate svih 24 jedinica tek približno 34% puta.
Tri kocke daju 11 na 27 načina, a 14 na 15 načina, pa svaki žeton koji se pomjeri ide prvom igraču 27 puta od 42, odnosno 9 puta od 14. Pošto obje strane počinju s 12, vjerovatnoća da se uzme sve iznosi 1/(1 + r¹²), gdje je r omjer vjerovatnoće druge strane prema vašoj.
Za prvog igrača r = 5/9, a (5/9)¹² ≈ 0,00086, pa je vjerovatnoća približno 0,99914: izgledi 9¹² prema 5¹², odnosno 282.429.536.481 prema 244.140.625, približno 1.157 prema 1. Huygens je te brojeve objavio tačno tako 1657.
Na crvenom je r = 19/18 zbog nule, a (19/18)¹² ≈ 1,913: vaša vjerovatnoća je 1/2,913 ≈ 34,3%. Novčić bi dao 50%. Prednost kuće od 2,70% na svaku opkladu sabere se kroz mnoge potrebne opklade do razlike od 16 procentnih poena.
Malo humora
Odvažna igra je optimalna. Također brzo završava.
Izvori
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Letter to Huygens, 28 September 1656, on the problem Pascal posed to Fermat.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”