Dugoročna konvergencija: Zakon velikih brojeva u ruletu
Kako se prosjek ustaljuje prema −2,70% i zašto to traje duže nego što intuicija sugerira.
Prosječni gubitak po okretaju konvergira prema −1/37 kako se okretaji gomilaju, uz rasipanje koje se smanjuje kao 1/√N. Nakon 1.000 okretaja na crveno prosjek je obično unutar ±3% od očekivanja.
Zakon velikih brojeva
Tekući prosjek nezavisnih opklada teži očekivanoj vrijednostimatematikaOčekivana vrijednostProsječan rezultat po opkladi na dugom roku. Za svaku standardnu evropsku opkladu iznosi −1/37 uloga.Pročitajte cijelo →. Nakon N okretaja na jednostavnu šansu po jednoj jedinicinovacJedinicaOsnovni ulog kojim se služi sistem ili igrač. Progresije se opisuju u jedinicama kako bi vrijedile za svaki sto.Pročitajte cijelo →, prosječni rezultat po okretaju ima očekivanje −1/37 i standardnu devijacijumatematikaStandardna devijacijaKvadratni korijen varijanse; tipična udaljenost rezultata od očekivane vrijednosti.Pročitajte cijelo → 1/√N. Pri N = 100 to rasipanje iznosi 10% uloga, gotovo četiri puta više od signala od 2,7%. Pri N = 1.000 iznosi 3,2%, približno koliko i signal. Pri N = 10.000 iznosi 1%, a prednost je jasno vidljiva. Prednost je nevidljiva u jednoj sesiji, a nepogrešiva u godini.
Šta konvergira, a šta ne
Prosjek po okretaju konvergira. Ukupan iznos ne: s rastom N udaljava se od nule za očekivanih oko 2,7% od N, uz rasipanje √N oko toga. Od igrača koji je odigrao 10.000 okretaja po $10 očekuje se da bude u minusu $2.700, uz odstupanje od oko $1.000. Tekući udio crvenihkladiti seCrvenoOpklada na jednostavnu šansu na 18 crvenih brojeva. Francuski: rouge.Pročitajte cijelo → odavno se ustalio blizu 48,65%; tekuće stanje se nije ustalilo nigdje.
- p10 −$440
- p25 −$280
- medijan −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Zašto intuicija griješi
Ljudi očekuju da se prednost brzo pokaže jer 2,70% zvuči mnogo, a očekuju da se dugi nizovi „izravnaju“ jer zakon velikih brojevamatematikaZakon velikih brojevaProsjek nezavisnih rezultata približava se očekivanoj vrijednosti kako broj pokušaja raste.Pročitajte cijelo → kaže da prosjeci konvergiraju. Obje intuicije pogrešno procjenjuju razmjer: prednost je mala u odnosu na varijansumatematikaVarijancaMjera raspršenosti rezultata oko očekivane vrijednosti. Velika je za opkladu na jedan broj, mala za opklade na jednostavnu šansu.Pročitajte cijelo → jednog okretaja (σ = 1 jedinica naspram EV = 0,027), pa joj treba (1/0,027)² ≈ 1.400 okretaja da postane vidljiva na nivou jedne sigme. Konvergiranje prosjeka ne čini ništa da ukupan iznos vrati nazad; ono samo razrjeđuje ranija odstupanja.
Konvergencija za druge opklade
Za opklade na jedan brojkladiti seJedan brojJedan broj; isplaćuje 35:1.Pročitajte cijelo → σ = 5,84, pa isti izračun daje (5,84/0,027)² ≈ 47.000 okretaja da prednost dosegne jednu sigmu. Igrač na jedan broj može igrati godinama, a da se prednost u vlastitim zapisima ne razlikuje od sreće, dok plaća potpuno istih 2,70% kao igrač na crveno koji je vidi za nekoliko sedmica.
Posljedica za testiranje sistema
Svako ko tvrdi da sistem radi trebao bi ga moći pokazati kroz 10.000 ili više okretaja s dokumentovanim pozitivnim prosjekom. Pri 1.000 okretaja pozitivan prosjek na jednostavnoj šansi događaj je jedan prema pet prema nultoj hipotezi; pri 100 okretaja gotovo je bacanje novčića. Simulatori na ovoj stranici pokreću 2.000 sesija odabrane dužine za sekundu, što je više dokaza od bilo kojeg svjedočenja.
Formula
Pitanja
VjerovatnoćamatematikaVjerovatnoćaMogućnost ishoda, od 0 do 1 odnosno od 0% do 100%. Jedan broj: 1/37 = 2,70%.Pročitajte cijelo → da ćete ikada ponovo biti u plusu teži nuli dok igrate. Ukupan iznos bez granice klizi naniže.
Ne. Znači da ranija odstupanja postaju manji udio većeg uzorka.
Za jednostavnu šansu oko 10.000 prije nego što je prednost jasno vidljiva. Za opklade na jedan broj oko 50.000.
Zabavna matematika
Najprije ih pokušajte riješiti sami. Svako je rješenje skriveno; otvorite ga kad budete spremni.
Dva prijatelja igraju 20 rundi poštene igrematematikaPoštena igraIgra u kojoj nijedna strana nema prednost: svaka opklada ima očekivanu vrijednost nula.Pročitajte cijelo →, bacanja novčića ili crvenokladiti seCrvenoOpklada na jednostavnu šansu na 18 crvenih brojeva. Francuski: rouge.Pročitajte cijelo → protiv crnogkladiti seCrnoOpklada na jednostavnu šansu na 18 crnih brojeva. Francuski: noir.Pročitajte cijelo → uz vraćene nuletočakNulaJedini zeleni džep, koji ne pokriva nijedna opklada na jednostavnu šansu, tucet ni kolona; izvor prednosti kuće. Također: pojedinačna nula, 0.Pročitajte cijelo →, i vode tekući rezultat. Brojite runde tokom kojih je svaki u vodstvu (neriješeno se računa onome ko je vodio neposredno prije). Šta je vjerovatnije: da se vodstvo podijeli 10 rundi prema 10 ili da jedan prijatelj vodi svih 20?
Prikaži rješenje
Odgovor Mnogo je vjerovatnije da jedan prijatelj vodi svih 20 rundi: 35,2%, računajući oba prijatelja, nasuprot 6,1% za podjelu 10 prema 10.
Vjerovatnoća da je pošteni tekući rezultat izjednačen nakon 2k rundi iznosi u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0,246 nakon 10 rundi i 0,176 nakon 20. Klasičan rezultat, zakon arkus-sinusa, kaže da vjerovatnoća da jedan imenovani prijatelj vodi tačno 2k od 2n rundi iznosi u(2k) × u(2n − 2k).
Vodstvo svih 20: u(20) × u(0) = 0,176 za svakog prijatelja, odnosno 35,2% za bilo kojeg. Jednaka podjela: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%, najmanje vjerovatna podjela od svih.
Dakle, u poštenoj igri vodstvo rijetko mijenja stranu. Igrač koji je cijelu večer bio ispred ili iza nije vidio ništa neobično, a to ne govori ništa o točku ni o vještini. Epstein (2013) daje isti zakon za duže igre: polovina vremena sretnija strana vodi više od 85% igre.
Malo humora
Prosjek konvergira. Ukupan iznos samo odlazi.
Izvori
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.