Problem: Granica tabele
Martingale s ulogom od $10 za stolom s limitom $500. Koliko često se prekida, koliko se tada gubi i pomaže li veći limit?
Šest gubitaka zaredom prekida ga: 1,8% po ciklusu, odnosno oko 60% sesija od 100 okretaja. Prekid košta $630. Podizanje limita na $5.000 čini prekid rjeđim (0,25% po ciklusu), ali većim ($5.110). Očekivani gubitak po uloženom dolaru iznosi 2,70% pri svakom limitu.
Problem
Igrač ulaže $10 na crvenokladiti seCrvenoOpklada na jednostavnu šansu na 18 crvenih brojeva. Francuski: rouge.Pročitajte cijelo → i udvostručuje nakon svakog gubitka, a nakon dobitka se vraća na početni ulog. Maksimum stola je $500. (a) Koliko uzastopnih gubitaka prekida progresijustrategijaProgresijaSvako pravilo koje mijenja ulog prema prethodnim rezultatima. Negativne progresije ga povećavaju nakon gubitaka, pozitivne nakon dobitaka.Pročitajte cijelo →? (b) Kolika je vjerovatnoćamatematikaVjerovatnoćaMogućnost ishoda, od 0 do 1 odnosno od 0% do 100%. Jedan broj: 1/37 = 2,70%.Pročitajte cijelo → po ciklusu? (c) Koliko se gubi pri prekidu? (d) Kako limit od $5.000 mijenja odgovore? (e) Čini li neki limit sistem profitabilnim?
Rješenja (a)–(c)
Ulozi su: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Sedmi bi iznosio 640 > 500, pa ga šest gubitaka prekida. (b) p(gubitka) = 19/37 na crvenom; (19/37)⁶ = 0,0183, oko 1,8% po ciklusu. Ciklus u prosjeku traje oko dva okretaja, pa sesija od 100 okretaja ima otprilike 50 ciklusa i p(barem jednog prekida) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, odnosno 63 osnovne jedinicenovacJedinicaOsnovni ulog kojim se služi sistem ili igrač. Progresije se opisuju u jedinicama kako bi vrijedile za svaki sto.Pročitajte cijelo →, naspram $10 koje je ciklus pokušavao dobiti.
Rješenje (d)
Pri $5.000 dopušteni su ulozi do 2.560; deseti ulog, 5.120, odbija se. Devet gubitaka prekida progresiju: (19/37)⁹ ≈ 0,25% po ciklusu, odnosno oko 11% sesija od 100 okretaja. Gubitak pri prekidu: 10 + 20 + … + 2.560 = $5.110. Igrač je kupio rjeđu katastrofu po cijenu veće. Tokom mnogo sesija očekivani trošak prekida iznosi p × gubitak ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 po ciklusu pri limitu $500 i 0,0025 × 5.110 = $12,8 pri $5.000; uz zaokruživanje to je isti broj i jednak je očekivanom gubitkumatematikaOčekivani gubitakOčekivana vrijednost pomnožena ukupnim iznosom uloga; prosječni gubitak tokom sesije ili razdoblja.Pročitajte cijelo → ciklusa umanjenom za $10 koje dobitni ciklusi osvajaju.
Rješenje (e)
Ne. Očekivani gubitak po ciklusu = (očekivani ukupni ulog u ciklusu) / 37 pri svakom limitu, jer svaka opklada vrijedi −1/37 same sebe. Limit samo određuje kako se gubitak raspoređuje između mnogo malih dobitaka i nekoliko velikih gubitaka. Bez limita i s neograničenim bankrollomnovacBankrollUkupan iznos izdvojen za igru. Upravljanje bankrollom određuje koliko tog iznosa rizikujete po opkladi i po sesiji.Pročitajte cijelo → progresija bi „radila“ u smislu da se nikada ne bi prekinula, ali bi se kladila na neograničen iznos uz očekivani gubitak od 2,70% tog neograničenog iznosa. Limit stolastoLimit stolaDozvoljena minimalna i maksimalna opklada. Maksimum zaustavlja progresije s udvostručavanjem.Pročitajte cijelo → nije ono što sprečava MartingalestrategijaMartingaleProgresija koja udvostručuje opkladu nakon svakog gubitka. Pogledajte odjeljak Strategije za ono što radi, a što ne radi.Pročitajte cijelo → da radi. To čini aritmetika.
Dva stvarna stola
Thorpov primjer je sto s ulogom $1 i maksimumom $1.000, gdje igrač pokušava osvojiti $30 za večeru dolar po dolar. Ulozi 1, 2, 4 … 512 dopuštaju deset opklada, pa deset gubitaka zaredom prekida progresiju: jednom u 785 ciklusa na evropskom točku (jednom u 613 na američkom), uz trošak $1.023. Svih trideset ciklusa uspije u 96,2% slučajeva. Preostalih 3,8% gubi oko $1.000, a prosječni rezultat večeri iznosi −$9,17, što je tačno 1/37 od $339 koje trideset ciklusa u prosjeku uloži. Sto s ulogom $5 i maksimumom $2.000 nije drugačiji: ulozi do $1.280 dopuštaju devet opklada, a prekid dolazi jednom u 403 ciklusa na evropskom točku (jednom u 323 na američkom) i košta $2.555.
Bogati igrač
Dajte progresiji dubok bankroll umjesto niskog limita: 1.000 jedinica, osnovu od jedne jedinice i 1.000 okretaja na crveno, uz vraćanje na jednu jedinicu kad je sljedeće udvostručenje veće od preostalog iznosa. Simulirali smo milion takvih večeri. Na evropskom točku 52% završi u plusu, 21% izgubi sve, a prosječni rezultat je −124 jedinice. Čak bi i u igri bez nuletočakNulaJedini zeleni džep, koji ne pokriva nijedna opklada na jednostavnu šansu, tucet ni kolona; izvor prednosti kuće. Također: pojedinačna nula, 0.Pročitajte cijelo →, gdje je svaka opklada poštena, samo oko 60% završilo u plusu. Uobičajena večer donosi mali dobitak; prosjek plaćaju večeri koje završe na nuli.
Pouka
Kazina postavljaju limite da ograniče vlastitu varijansumatematikaVarijancaMjera raspršenosti rezultata oko očekivane vrijednosti. Velika je za opkladu na jedan broj, mala za opklade na jednostavnu šansu.Pročitajte cijelo →, a ne da poraze sisteme. Poraz Martingalea sporedni je učinak koji im odgovara, a aritmetika bi ga porazila i bez toga. Igrač koji misli da je limit problem pronašao je liticu i zamijenio je za padinu.
Formula
Pitanja
Omogućio bi vam da izdržite do višeg limita, pri kojem je prekid rjeđi i veći. Očekivani gubitak po dolaru ostaje isti.
Ulozi 10, 30, 70, 150, 310: limit od $500 doseže se nakon pet gubitaka, a prekid košta $570. Ista stopa od 2,70%.
Da jedan igrač ne bi mogao uložiti više nego što rezerva kazina može udobno isplatiti. Upravljanje varijansom.
Zabavna matematika
Najprije ih pokušajte riješiti sami. Svako je rješenje skriveno; otvorite ga kad budete spremni.
MartingalestrategijaMartingaleProgresija koja udvostručuje opkladu nakon svakog gubitka. Pogledajte odjeljak Strategije za ono što radi, a što ne radi.Pročitajte cijelo → počinje sa $100 na crvenokladiti seCrvenoOpklada na jednostavnu šansu na 18 crvenih brojeva. Francuski: rouge.Pročitajte cijelo → i dopušta najviše n opklada u ciklusu: nakon n uzastopnih gubitaka odustaje i počinje ponovo. Napišite prosječni rezultat jednog ciklusa kao formulu u n i izračunajte ga za 5, 6 i 7 opklada na evropskom točku.
Prikaži rješenje
Odgovor Prosjek je 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14,26 za 5 opklada, −$17,35 za 6 i −$20,52 za 7. Dopuštanje više opklada čini prosječni ciklus gorim, a ne boljim.
Ciklus dobija $100 osim ako svih n opklada ne izgubi, što se događa s vjerovatnoćom qⁿ, gdje je q = 19/37. Kada sve izgube, ulozi 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ daju zbir 100 × (2ⁿ − 1). Zato je prosjek 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Ovdje je 2q = 38/37, malo više od 1, pa (2q)ⁿ raste s n, a prosjek pada: n = 5 daje 1,1426 i −$14,26; n = 6 daje 1,1735 i −$17,35; n = 7 daje 1,2052 i −$20,52. Duže stepenice rjeđe gube, u 3,6%, 1,8% i 0,9% ciklusa, ali je svaki gubitak dvaput veći i više novca prelazi preko stola po ciklusu, uz 2,70% na svaku opkladu.
Na američkom točku 2q = 40/38, a brojke su −$29,24, −$36,04 i −$43,20 (Taylor, 2021). U igri bez nuletočakNulaJedini zeleni džep, koji ne pokriva nijedna opklada na jednostavnu šansu, tucet ni kolona; izvor prednosti kuće. Također: pojedinačna nula, 0.Pročitajte cijelo → 2q = 1, a svaki ciklus u prosjeku je tačno na nuli bez obzira na dužinu stepenica.
„Veliki Martingale“ udvostručuje ulog nakon gubitka i dodaje jednu jedinicunovacJedinicaOsnovni ulog kojim se služi sistem ili igrač. Progresije se opisuju u jedinicama kako bi vrijedile za svaki sto.Pročitajte cijelo →, pa ulozi idu 1, 3, 7, 15, 31 … Koliko ste u plusu kada prvi dobitak dođe na 1., 2., 3. ili k-tu opkladu? Pri jedinici od $10 i maksimumu od $500, koliko često ciklus pukne i koliko ciklus u prosjeku košta?
Prikaži rješenje
Odgovor Dobitak na k-toj opkladi ostavlja vas k jedinica u plusu: +1, +2, +3 i tako dalje. Pri $10 i $500 ciklus pukne nakon pet gubitaka, u 3,57% ciklusa, za −$570. U prosjeku ciklus gubi $2,32 od uloženih $85,73: 2,70%.
k-ti ulog iznosi 2ᵏ − 1 jedinica: 1, 3, 7, 15, 31. Prvih k − 1 uloga daju zbir 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Dobitak na k-toj opkladi isplaćuje 2ᵏ − 1, pa ciklus završava s (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k jedinica u plusu: po jedna dodatna jedinica za svaki gubitak prije dobitka.
Pri $10 po jedinici ulozi su $10, $30, $70, $150 i $310; sljedeći, $630, iznad je maksimuma od $500. Pet uzastopnih gubitaka, (19/37)⁵ = 3,57%, košta 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Prosjek: dobici donose $10 × k s vjerovatnoćom (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 za k = 1 do 5, a prekid uzima $570 s vjerovatnoćom 3,57%; zajedno −$2,32. Uloženi novac po ciklusu u prosjeku iznosi $85,73, a 2,32/85,73 = 2,70%. Obični Martingale za istim stolom pukne nakon šest gubitaka, u 1,83% ciklusa, za −$630 i gubi $1,74 od uloženih $64,20: opet 2,70%.
Igrač planira Martingale na crveno s prvom opkladom od $1 za stolom čiji je maksimum $1.000, pa je moguće deset opklada: $1, $2, $4 i tako dalje do $512. Koliko često ciklus gubi svih deset, koliko to u prosjeku traje i koliko često se tako završi večer od 200 opklada?
Prikaži rješenje
Odgovor Ciklus gubi svih deset približno jednom od 784 puta, što košta $1.023. To je u prosjeku približno 1.600 opklada, a večer od 200 opklada udari u zid približno 11% puta. Ciklus i dalje u prosjeku gubi $0,31 od uloženih $11,31: 2,70%.
Opklada na crveno gubi s vjerovatnoćom 19/37, uključujući nulu. Deset zaredom: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, približno 1 od 784. Ulozi 1 + 2 + 4 + … + 512 daju zbir $1.023.
Ciklus u prosjeku traje 2,05 opklada, pa 784 ciklusa znači približno 1.600 opklada. Gledano okretaj po okretaj, niz od deset gubitaka pojavljuje se negdje u 200 opklada u 11,3% slučajeva.
Između katastrofa igrač dobija $1 po ciklusu: približno $783 prije lošeg ciklusa, zatim −$1.023, odnosno približno −$240 kroz cijeli niz. Po ciklusu: 1 × (1 − 0,00128) − 1.023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Uloženi novac po ciklusu: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. A −0,31/11,31 = −2,70%.
Uporedite prvu opkladu od $10 uz maksimum od $500, šest opklada: zid dolazi jednom u 55 ciklusa, a večer od 200 opklada susreće ga u 84% slučajeva. Veći maksimum čini slom rjeđim i većim, a ne jeftinijim.
Malo humora
Rjeđi i veći pri svakom limitu. Umnožak je stalan.
Izvori
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.