Problem: rođendanski točak
Koliko okretaja prođe prije nego što se neki broj ponovi? Mnogo manje nego što većina ljudi pretpostavlja.
Problem rođendana na točku s 37 džepovaopremaDžepJedan od 37 numeriranih pretinaca na rotoru. Također: slot, cup.Pročitajte cijelo →: nakon samo 8 okretaja vjerovatnoća je veća od polovine da se neki broj već pojavio dvaput. Igrači ponavljanja tumače kao obrasce; ona su očekivano ponašanje poštenog točka.
Problem
Zavrtite pošteni evropski točak. Koliko je okretaja potrebno da vjerovatnoćamatematikaVjerovatnoćaMogućnost ishoda, od 0 do 1 odnosno od 0% do 100%. Jedan broj: 1/37 = 2,70%.Pročitajte cijelo → da su najmanje dva okretaja pokazala isti broj premaši polovinu? Većina igrača pogađa negdje oko 18 ili 19, pola od 37. Odgovor je 8.
Rješenje
Izračunajte vjerovatnoću da nema ponavljanja i oduzmite je od jedan. Nakon k okretaja, p(svi različiti) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). Za k = 8: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, pa je p(neko ponavljanje) ≈ 0,56. Za k = 14 iznosi 0,93; za k = 20 iznosi 0,996. Intuicija griješi jer broj parova okretaja raste kao k², a svaki par se može podudarati.
Zašto je to bitno za stolom
Tabla s rezultatima posljednjih 20 brojeva gotovo će uvijek pokazati barem jedno ponavljanje, često dva ili tri. Igrači vide „17 je došao dvaput u deset okretaja“ i zaključe da je 17 vruć; račun problema rođendana kaže da se ponavljanje unutar deset okretaja događa 74% vremena i da je ponovljeni broj slučajan. Obrazac je stvaran; značenje nije.
Dodatni problem
Koliko okretaja prođe dok se određeni broj, recimo 17, ne pojavi dvaput? To je drugo pitanje s mnogo većim odgovorom: očekivano čekanje je 74 okretaja, a vjerovatnoća dva puta 17 unutar 20 okretaja iznosi oko 10%. Razlika između „neki se broj ponovi“ (8 okretaja) i „ovaj se broj ponovi“ (74 okretaja) upravo je razlika između obrasca koji primijetite naknadno i predviđanja koje iznesete unaprijed.
Isprobajte
Pokrenite Demo igru na deset okretaja i pogledajte historiju. Obično će biti ponavljanja. Pokrenite je ponovo. Ponovljeni broj bit će drugi. Učinite to deset puta i vidjeli ste problem rođendanamatematikaRođendanski problemKoliko je ljudi potrebno da dvoje vjerovatno dijeli rođendan ili koliko je okretaja potrebno da se broj vjerovatno ponovi. Na točku s 37 džepova 8 okretaja daje vjerovatnoću veću od polovine.Pročitajte cijelo →; učinite to hiljadu puta (simulatori mogu) i izmjerili ste ga.
Formula
Pitanja
Tačno, samo s 37 džepova umjesto 365 dana. Kod rođendana 23 osobe daju 50%; kod točka 8 okretaja daje 56%.
50% nakon otprilike 19 okretaja. I dalje uobičajeno.
Ne. Hiljade okretaja jednog točka mogle bi ukazivati; jedno ponavljanje nikada ne ukazuje.
Zabavna matematika
Najprije ih pokušajte riješiti sami. Svako je rješenje skriveno; otvorite ga kad budete spremni.
Ekran sa rezultatima pored američkog točka pokazuje posljednjih 16 okretaja. Koliko je vjerovatno da se nijedan broj na njemu ne pojavi dva puta?
Prikaži rješenje
Odgovor Oko 2,5%: otprilike 39 ekrana od 40 pokazuje bar jedno ponavljanje.
Idite okretaj po okretaj. Prvi okretaj može da bude bilo šta. Drugi mora da ga promaši: 37 od 38. Treći mora da promaši oba: 36 od 38. Šesnaesti mora da promaši petnaest brojeva: 23 od 38.
Pomnožite: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
Ekran bez ponavljanja je onaj redak. Ekran sa ponavljanjem ne govori ništa o točku.
Kolika je vjerovatnoća da u deset okretaja evropskog točka 17 padne tačno pet puta? Da neki broj, bilo koji, padne pet ili više puta? I da neki broj padne bar tri puta u četiri okretaja?
Prikaži rješenje
Odgovor 17 tačno pet puta: 1 od 315.576. Neki broj pet ili više puta: oko 1 od 8.333. Neki broj tri ili više puta u četiri okretaja: 1 od 349.
Broj 17 pet puta: izaberite kojih pet od deset okretaja, 252 načina, svaki sa vjerovatnoćom (1/37)⁵ × (36/37)⁵. Zajedno, 1 od 315.576.
Neki broj: svaki od 37 brojeva ima vjerovatnoću 1 od 308.325 za pet ili više pogodaka, što daje 37 od 308.325, odnosno 1 od 8.333. Rijetki slučaj dva broja sa po pet pogodaka računa se dvaput, ali njegovo uklanjanje ne mijenja ništa pri ovoj preciznosti.
Tri puta u četiri okretaja: za jedan broj, 4 × 36 + 1 = 145 od 37⁴ mogućih rezultata; za bilo koji od 37 brojeva, 145/37³ = 1 od 349.
Za točak sa dvije nulatočakNulaJedini zeleni džep, koji ne pokriva nijedna opklada na jednostavnu šansu, tucet ni kolona; izvor prednosti kuće. Također: pojedinačna nula, 0.Pročitajte cijelo → odgovarajući brojevi su 1 od 359.275, 1 od 9.243 i 1 od 368. Razlika između „17“ i „nekog broja“ ponovo je problem rođendanamatematikaRođendanski problemKoliko je ljudi potrebno da dvoje vjerovatno dijeli rođendan ili koliko je okretaja potrebno da se broj vjerovatno ponovi. Na točku s 37 džepova 8 okretaja daje vjerovatnoću veću od polovine.Pročitajte cijelo →: postoji 37 načina da se iznenadite.
Malo humora
Nešto se rano ponavlja. To nešto je slučajno.
Izvori
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. „Ask the Wizard“, pitanja o ruletu.